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  godel [ Un logico alla deriva... ]
         

IMPORTANTE: In attesa che l'amministrazione attivi l'ASCII riportero qui sotto la notazione dei simboli per questo blog che aggiungerò di volta in volta nel caso siano diversi da quelli di uso corrente i quali vanno letti in tal modo ovviamente all'interno del contesto adatto.

Exa := esiste almeno un x, tale che a

(x)a := per tutti gli x in a

a e C := l'elemento a appartiene a C

#a := è necessario che a

@a := è possibile che a
 
 






«Il problema dell'umanità è che gli stupidi sono strasicuri, mentre gli intelligenti sono pieni di dubbi.»


 Bertrand Russell


«L'esperto è una persona che ha fatto in un campo molto ristretto tutti i possibili errori .»


Niels Bohr


«I miei pensieri sono le mie puttane.»


Denis Diderot


«Non basta infatti essere dotati di buon ingegno;importa sopratutto applicarlo bene..»


Cartesio


«Una cosa non è necessariamente vera perché un uomo è morto per realizzarla.»


Oscar Wilde


«Farsi beffe della filosofia è filosofare sul serio.»


Blaise Pascal


«La logica è l'anatomia del pensiero.»


John Locke


«Il vantaggio di essere intelligente è che si può sempre fare l'imbecille, mentre il contrario è del tutto impossibile.»


Woody Allen 

«Ciascuno valuta bene le cose che conosce e ne è buon giudice; quindi l'uomo colto lo è in ciascun campo, e il buon giudice in assoluto è colui che ha una cultura universale.»


Aristotele


4 ottobre 2006

NUOVO BLOG

OGGI APRE UFFICIALMENTE IL MIO NUOVO BLOG. SE QUALCUNO FOSSE INTERESSATO A RILEGGERE LE COSE CHE SCRIVO E CHE HO MATURATO PUO' FARLO ALL'INDIRIZZO WWW.LEIBNIZ.ILCANNOCCHIALE.IT




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24 aprile 2006

la stagione degli amori possibili



"La felicità si racconta male perché non ha parole. Ma si consuma e nessuno se ne accorge"




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29 novembre 2005

L'infinito: da Anassimandro a Cantor

Aristotele cercò per primo di mettere ordine nell’uso dell’infinito nella matematica greca. Egli farà una chiara distinzione fra l’infinito in atto, cioè l’accettazione dell’esistenza di insiemi infiniti, e l’infinito in potenza, cioè qualcosa che è sempre divisibile in parti più piccole, ma che non è pensabile nella sua interezza. Nella matematica greca, e tutto sommato fino al diciannovesimo secolo, l’infinito fu sempre concepito come infinito potenziale. Il primo ad usare il termine infinito (l’apeiron) fu Anassimandro.

La continuità degli enti geometrici, in base alla quale, ad esempio, una retta è un qualcosa di compatto, privo di interruzioni o buchi, fu sempre assunta dai greci come primitiva. Si userà il termine continuo geometrico al posto dei termini retta o segmento.

L’atomismo pitagorico aveva posto a base della geometria la concezione granulare del punto: il punto era un ente che, pur se piccolissimo, aveva comunque una dimensione. Ne conseguiva che

Un segmento era costituito da un numero finito di atomi indivisibili,

e che quindi il rapporto di due segmenti, in quanto rapporto di naturali, doveva essere un numero razionale.

Furono proprio i pitagorici, però, che scoprirono l’esistenza di segmenti incommensurabili: la diagonale e il lato di un quadrato infatti, hanno come rapporto rad2; e tale rapporto non è un numero razionale. Se fosse infatti rad2=m/n, allora 2n2=m2; ma ciò non è possibile perché nel primo membro il 2 figurerebbe un numero dispari di volte, mentre nel secondo membro figurerebbe un numero pari di volte.

Tale scoperta inficiava la dottrina pitagorica, e segnò per lungo tempo un distacco fra geometria e numeri (si ricordi che non esistevano ancora i numeri reali), poiché il finito non era in grado di esprimere il continuo geometrico.

Una alternativa al pitagoricismo non poteva essere quella di descrivere il continuo geometrico nel seguente modo:

Un segmento è costituito da un numero infinito di atomi indivisibili.

Infatti ciò avrebbe comportato, contro gli insegnamenti di Aristotele, l’esistenza di un infinito attuale (il segmento). E d’altronde, poiché gli atomi indivisibili dovevano avere comunque la stessa dimensione, ne derivava che un segmento doveva avere lunghezza infinita.

Anassagora di Clazomene (499-428), seguace di Eraclito di Efeso e convinto sostenitore dell’infinità potenziale, caratterizzò il continuo geometrico nel modo seguente:

Dato un segmento, ne esiste sempre uno più piccolo.

Un segmento veniva così ad essere un insieme potenzialmente infinito di punti che si ottenevano con il principio dell’infinita divisibilità in parti più piccole.

Zenone di Elea fu seguace di Parmenide di Elea . Contestò, coi famosi paradossi, ogni possibilità di descrivere il continuo, sia esso geometrico, o spazio-temporale come molteplicità di parti discrete. Contro l’infinità attuale Zenone fornì il già visto paradosso della lunghezza infinita di un segmento. Contro invece l’infinità potenziale, Zenone fornì invece i cosiddetti (paradossi dell’infinito potenziale); e cioè,

Il paradosso di Achille e la tartaruga, (o dell’impossibilità del moto). Il piè veloce Achille non potrà mai raggiungere la lenta tartaruga partita in vantaggio, poiché dovrebbe operare, per l’infinita divisibilità, infiniti passi. Anzi, Achille non potrebbe neanche muoversi! Solo nell’ottocento, in seguito all’introduzione ad opera di Weierstrass del concetto di limite, tale paradosso viene risolto: infatti, la somma di infiniti termini può benissimo essere finita.

Il paradosso derivante dalla scoperta di segmenti incommensurabili. In un quadrato di lato 1, mentre la misura rad2 della diagonale può solo approssimarsi per passi successivi, con un insieme cioè potenzialmente infinito di passi, la diagonale stessa però, in quanto esiste, ha un tipo di esistenza attuale. L’accettazione quindi del solo infinito potenziale sarebbe abbastanza problematica.

I paradossi di Zenone sono stati considerati come puri sofismi; con essi però Zenone voleva solo contestare il punto di vista secondo il quale fosse in qualche modo descrivibile il continuo spazio-temporale.

Eudosso di Cnido formulò una nuova caratterizzazione, il postulato di Eudosso, del continuo geometrico. Precisamente:

 Dati due segmenti a<b, esiste un multiplo di a che supera b.

È facile verificare che tale postulato implica la caratterizzazione di Anassagora. In più, anche una retta diviene un insieme potenzialmente infinito di punti; quindi il continuo (cioè, la retta ed il segmento) era sufficientemente espresso dall’infinita potenzialità nel senso di Eudosso.

Il postulato di Eudosso rende anche conto dell’incommensurabilità. Si considerino infatti due segmenti a<b; esisterà un naturale n tale che na<b<(n+1)a; e dunque b/ a=n,…; ripetendo il ragionamento per (a/10) e (b-(n-1)a), si trova b/ a=n,n1…; si reitera il procedimento.

È facile poi verificare che il postulato di Eudosso è equivalente al seguente assioma di Archimede:

 Dati due segmenti a<b, se da b si toglie almeno la sua metà, dalla residua si toglie almeno la metà, e così via, dopo un numero finito di siffatte operazioni si deve giungere ad una parte residua più piccola di a.

L’assioma fu enunciato esplicitamente da Archimede e da lui attribuito ad Eudosso; anche se oggi è comunemente noto come assioma di Archimede.

Eudosso fornì anche un metodo dimostrativo, il metodo di esaustione, ampiamente utilizzato negli Elementi di Euclide e da Archimede. Il metodo si utilizzava nel provare, per assurdo, una eguaglianza a=b. Con l'esaustione i geometri greci erano riusciti ad evitare, secondo i dettami aristotelici, l’infinito, e a non usarlo mai nelle dimostrazioni. Si osservi infine che l'esaustione è rigorosa ma non fertile: i risultati che permette di dimostrare devono essere intuiti per altre vie.

Un primo riesame dei concetti di infinito e continuo lo si deve probabilmente a Galilei. Egli affermò, con sant’Agostino, la possibilità di ridurre un continuo in infiniti elementi senza estensione, e di considerare dunque il continuo come una somma infinita di inestesi. L’infinito in atto dunque, checché ne pensi Aristotele, non può non essere pensato ed il segmento non è altro che una sua manifestazione. Galilei si rese subito conto però di nuovi paradossi dell'infinito attuale, consistenti nel fatto che si esibivano infiniti attuali uguali a rispettive parti proprie (si ricordi che costruì una bigezione fra naturali e loro quadrati). Tali paradossi inficiavano il principio pitagorico, poi presente come nozione comune negli elementi di Euclide, in base al quale il tutto è maggiore della parte. Per tale motivo, Galilei fu abbastanza cauto sul piano matematico.

Galilei pensò poi, con Leibniz, di caratterizzare la continuità dei punti della retta in base alla densità, nel senso che fra due punti v’è sempre un punto; tuttavia, anche i numeri razionali hanno siffatta proprietà, ma non formano un continuo; non sono cioè equipotenti alla retta.

La rivisitazione del concetto di continuità si proponeva anche per altri aspetti; era ormai invalso infatti l’uso di identificare numeri reali e punti di una retta; e si richiedeva quindi una definizione di continuità che funzionasse anche per i numeri reali.

Dedekind si richiese cosa caratterizzasse il continuo e stabilì che la continuità non sta tanto nella densità di Galilei quanto in una proprietà contraria. Stabilì precisamente il postulato di Dedekind:

 Se si forma una partizione di un segmento AB in due classi A e B tali che i punti di A precedano quelli di B, ed AÎA e BÎB, esiste allora un unico elemento separatore delle due classi.

Diede poi una definizione di numero reale completamente sganciata da ogni eventuale rappresentazione geometrica e tale che da essa si potesse ricavare l’equipotenza fra retta e reali, e quindi la continuità dei reali.

Una successiva analisi ha fatto notare che il postulato di Dedekind implica quello di Eudosso.

Oggi si preferisce definire la continuità con un principio che, assieme al postulato di Eudosso, non lo implica. Tale è il seguente principio di Cantor:

Due insiemi di punti di una retta separati e contigui hanno un unico punto di separazione.

Si prova infatti che (Eu +C) <-> D.

Fu merito di Cantor l’aver risolto i paradossi dell’infinito attuale che avevano bloccato Galilei, e la riscoperta quindi dell’infinito attuale, oggi largamente accettato. La sua grande intuizione fu il concetto di equipotenza. Ne viene che un insieme può essere uguale ad una sua parte propria, purchè per uguale si intenda equipotente. Anzi Dedekind stabilì come definizione di insieme infinito proprio il fatto di essere equipotente ad una sua parte propria.

Tuttavia, la possibilità di concepire il continuo come un infinito in atto rimane una questione aperta a causa dei problemi fondazionali che minano l’edificio cantoriano. Per altri aspetti, l’eliminazione, addirittura, dell’infinito in matematica, operata da Weierstrass, non sembra essere soddisfacente. A tal proposito, Hilbert ribadisce, in un famoso brano del 1926, che “l'essenza della sistemazione del calcolo infinitesimale operata da Weierstrass consiste nell'aver eliminato l'infinito, dal momento che con la definizione di limite esso è stato ridotto ad una pura convenzione verbale. Tuttavia, l'infinito rimane un concetto aperto indispensabile per il pensiero matematico”.




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24 novembre 2005

Clonazione e logica modale

Oggi ho avuto l'occasione di leggere un'articolo sullo scottante tema della clonazione umana che mi ha stimolato alcune riflessioni logiche. Sarò costretto a ricorrere però alla logica modale che magari non tutti conoscono (e chissà, un giorno potrei pure spiegarne le basi). Sostanzialmente si tratta di inserire questi nuovi connettivi che significano rispettivamente:

#a := è necessario che a

@a := è possibile che a

Ora però io darei un'interpretazione un tantino diversa, ossia #a come è obbligatorio che a, e @a come è possibile che a.
Molti scienziati tra cui premi Nobel italiani sostengono che la scienza non può aver limiti e tutto quello che si scopre deve essere messo in atto (ricordate le discussioni sulla fecondazione assistita?). Ma ha veramente senso questo ragionamento dal punto di vista della logica? Questa proposizione si può formalizzare dal mio punto di vista semplicemente così: (@a ---> #a) ovvero ciò che è possibile fare con le tecnologie si deve anche fare.
La cosa che mi ha stupito però (magari qualcuno più bravo di me -e non ci vuole molto! - potrebbe contraddirmi) è che il lemma qui sopra non è dimostrabile! Si può dimostrare il contrario (#a ---> @a) introducendo agli assiomi modali classici l' ab necesse ad esse valet consequentia (#a ----> a) ma quest'ultimo non è positivamente invertibile. Che io sappia non c'è un assioma che permetta di dimostrare (@a ---> #a) e se c'è sarei comunque curioso di sapere qual è!

Saluti

- G -




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17 novembre 2005

Strutture e semantica

Studiando i manuali standard per filosofi mi sono accorto che questi testi spiegano abbastanza bene la sintassi classica logica (in pratica la grammatica) tralasciando perlopiù la semantica (il significato).

Proverò a spiegare in poche righe cosa si intende generalmente per modello, il quale consiste di a) un universo U non vuoto; b) l'assegnazione di sottoinsiemi P di U per ogni simbolo p appartenente a L (in simboli p e L). Questa assegnazione è sostanzialmente un'interpretazione in cui un modello, ad esempio V, assegna al simbolo p l'insieme P. In simboli:

 V : p --> P

Solo fissando un modello è possibile fornire di significato le formule di un linguaggio le quali saranno interpretate come definizioni di sottoinsiemi dell'universo o dominio.
Possiamo ora dare una definizione di verità tenendo conto delle precisazioni fatte sopra: una formula chiusa è vera se e solo se vale nel modello definito per l'universo fissato.

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Esempio: Fissiamo un linguaggio L = [ p,q,r] e un modello V che ha come dominio l'insieme dei numeri naturali N. Abbiamo le seguenti interpretazioni:

I. V : p --> P      II.  V : q --> D      III.  V : r --> i numeri dispari maggiori di 10

Dove P e D corrispondono rispettivamente all'insieme dei pari e dei dispari otteniamo con qualche controesempio, per il primo ponendo p = p(1) il valore falso, per il secondo se q= p(0) v q(0) vero e per l'ultimo r = p(12) ^ r(0) di nuovo falso.

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Osservo alla fine che i modelli condizionando profondamente la nozione di verità sono indispensabili per comprendere tautologie e contraddizioni, le quali sussistono o meno sempre a seconda di un riferimento ad un modello.

Godel.



    




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16 novembre 2005

Russell e le generalizzazioni transfinite

Visto che ho chiuso con la sessione di esami, posso riprendere il mio "logichese". Faccio osservare che al sinistra c'è la simbologia che userò quando sarò costretto a farlo nel caso che non possa disporre dei siboli adeguati (la quale sarà sempre, si spera, aggiornata!).

Fra il quantificatore universale e il connettivo and ( & o anche ^ per la congiunzione) esistono profonde analogie. Già i medievali si erano resi conto della possibilità di pensare un insiemi finito di oggetti in una serie finita di congiunzioni (Tutti hanno la proprietà A se e solo se k1 ha A, k2 ha A, etc.). L'idea di una generalizzazione transifinita di &,  rende necesssaria la determinazione assiomatica del comportamento di (...) - quantificatore universale.
Le attenuazioni congiuntive che definiscono il comportamento della congiunzione suggeriscono di adottare:

                      A1   per ogni i compreso tra 1 e k,  a1 ^ ... ^ ak --> ai

ossia l'adozione del seguente schema per la sostituzione in cui la x è ovviamente libera in a: 

                     A1.2   per ogni termine t, (x)xa --> a[x/t]

Ora, l'obiezione che Russell avrebbe qui in mente sarebbe quella di sostenre che i fatti generali (es. Tutti i tavoli hanno le gambe) non possono essere descritti esclusivamente per mezzo di fatti particolari, perché anche qualora - come si è fatto sopra - i fatti generali fossero ricondotti a particolari servirebbe comunque una proposizione del tipo " I tavoli che ho trovato sono tutti particolari esistenti". Tralasciando l'esistenza o meno dei particolari mi pare evidente che anche questo nuovo quantificatore possa essere re-generalizzato rendendo l'obiezione di Russell assolutamente inconsistente.

Direi piuttosto che il vero problema è che A1 non riesce a spiegare in maniera esaustiva il comportamento del connettivo and. Per fare questo è necessario introdurre l'assioma

                   A1.3 ak --> (a1 ^ a2 ^ ...^ ak

A questo punto sorge una possibile obiezione contro questo modo di procedere. E' possibile senza indebolire il significato dell'implicazione generalizzare anche A1.3? In caso negativo qualsiasi generalizzazione di (...) non potrà mai essere esaustiva senza richiamare in causa altri connettivi.

Godel




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4 novembre 2005

Heidegger e la logica

Stasera non sapendo che cosa fare ho dato un'occhiata alla libreria. C'erano un bel po' di libri da

leggere, inoltre avevo appena comprato il testo di Lolli "Da Euclide a Godel" e avrei potuto leggermi quello. Ma non avevo troppa voglia, così prendo in mano con curiosità il testo di Heidegger "Che cos'è metafisica?". Ad essere sincero non l'ho mai letto, ma ne avevo sentito tanto parlare (sempre male, si intende) che mi ha incuriosito. Lo si legge in poco tempo, è una decina di pagine tra l'altro molto chiare e concise quindi lo consiglio a tutti filosofi e non. A dire il vero il testo mi ha lasciato un po' perplesso; tuttavia è molto probabile che quando un testo di filosofia ti lascia perplesso, allora è di certo buona filosofia se essa è come dice Hegel "il mondo alla rovescia". Ho cercato di non farmi troppo condizionare dai pregiudizi che avevo e l'ho letto con calma e tranquillità senza tutte le risate che si sono fatti quelli del Circolo di Vienna. Però, come ho già detto, rimango un po' perplesso e vi comunico i miei dubbi.

Heidegger si domanda cos'è la metafisica, e subito fa un alla scienza: le scienza (dello spirito e non) si occupano degli enti che sono nel mondo e non si pongono domande del tipo che cos'è il niente pur tuttavia (e inconsapevolmente) presupponendolo nelle loro ricerche. Dico a me stesso...mmm...interessante, vediamo come va a finire. Heidegger si domanda: ma se noi ci domandiamo cos'è il niente, non stiamo forse dicendo che il niente è una cosa e quindi stiamo implicitamente affermando che il niente non è il niente? Bravo, penso! Poi dice che niente indica appunto il ni-ente, ovvero non-ente che è la negazione di tutti gli enti. Qui Heidegger afferma che vorrebbe superare la sovranità della logica e dell'intelletto. Sostanzialmente Heidegger affermerà che tramite le gioia e l'amore noi ci sentiamo situati in mezzo all'ente nella sua totalità (???) e così, in un certo senso (aggiunto io: molo ma molto e moltissimo lato) conosciamo la totalità. Dunque se tramite queste situazioni emotive conosciamo la totalità (la quale, in sé, sarebbe inconoscibile perché non ne possiamo mai avere esperienza) allora tramite altre conosceremo la nientità La situazione emotiva che ce la fa conoscere è l'angoscia, ma non nel senso psicologico (ci mancherebbe!) del termine, piuttosto a livello ontologico come cooriginaria alla comprensione del mondo. Come se non bastasse questa angoscia non ci dà solo l'esperienza del niente, ma anche dell'ente. Infatti per uno strano gioco che Heidegger non spiega molto bene, il niente essendo l'altro dall'ente ci mette davanti l'ente stesso in quanto il niente "nientifica" (e qua la presa per il culo di Carnap) gli enti e in questo annullarli ce li fa conoscere. Ma non solo! L'angoscia è una situazione emotiva (che non è semplice sentimento) che è sempre dentro di noi e nullifica sempre, solo che noi non ce ne accorgiamo perché siamo presi tutto il giorno dall'utilizzabile, cioè dal lavorare, studiare, eccetera; ci prendiamo come dice lui, Cura del mondo (e ovviamente di noi). Dopo qualche critica alla concezione del nulla nei presso i Greci e la cristianità, Heidegger afferma così di avere una volta per tutte scardinato tramite questo ragionamento le pretese dell'intelletto e, come se non bastasse, della stessa logica la quale non vale un fico secco. Perché? Heidegger passa alla mossa decisiva sostenendo che la negazione su cui fa leva la logica si fonderebbe sulla sua nozione di nulla perché la negazione presuppone sempre un negabile che è sempre un ente. Inoltre la scienza e chi la fa sono dei fessi perché non si accorgono che dietro gli enti che essi costantemente manipolano ci sta dietro il nulla e quindi l'angoscia.

Ora io mi domando con molta umiltà:

1) Heidegger in tutto il suo trattato non risponde mai alla domanda che si era posto: "ma se noi ci domandiamo cos'è il niente, non stiamo forse dicendo che il niente è una cosa e quindi stiamo implicitamente affermando che il niente non è il niente?". E pur senza rispondere a questo fondamentale quesito pretende di aver sconfitto l'intelletto in un sol boccone (poi, come se l'intelletto fosse solo questa obiezione...).

2) Non ci dà una spiegazione del perché gioia e amore ci farebbero conoscere la totalità delle cose in senso stretto (e qui fa veramente il poeta come dice Carnap).

3) Il niente di Heidegger prima ce lo fa passare come il niente assoluto, poi lo determina nell'angoscia e conclude dicendo che quest ultimo è il nihil absolutum, oibò che bella petizia!

4) Credo che Heidegger usando il termine niente non usi il termine appropriato. Era meglio se lasciava angoscia che era più appropriato e basta perché il niente NON ESISTE E BASTA, e lui non ci mostra né dimostra mai il contrario!!!

5) Perché mai poi la negazione logica si fonderebbe sul suo niente e alla fine sull'angoscia? Non si capisce poi molto bene. A parte che il collegamento tra angoscia e niente più che filosofico mi pare un po' più letterario, poi ce ne passa nel dire che la negazione si fonda su queste. Non mi pare che se dico: in A non esistono numeri primi, lo posso dire perché sono incessantemente angosciato.

A voi le repliche!

Ciao!! ( Ho preso 30 in filosofia politica :) )




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22 ottobre 2005

I nuovi filosofi

Aspettando che mi venga un po' di voglia nel fare post dedicati, scrivo un mio piccolo pensierino su Chi e Come deve essere il filosofo contemporaneo.

L'ambiente in cui viviamo non è più l'ambiente della polis greca, ne tanto meno quello del fondamentalismo medievale. L'ambiente in cui l'uomo contemporaneo si trova proiettato è quello tecnico. Per tecnica intendo la radicale trasformazione del mondo-ambiente venuta con l'avvento dell'industrializzazione occidentale. Prescindere da questo ambiente e, in particolare, voler fare filosofia astraendo completamente dalle conoscenze scientifiche che hanno consentito questa trasformazione significa commettere un atto di superbia intellettuale come quella commessa dall'idealismo di Gentile e Croce. Quest ultimo in particolare andava fiero del fatto di non sapere fare nemmeno due più due, e il risultato di questo atteggiamento anti-scientifico è la pessima considerazione della matematica nelle nostre scuole. Se la coscienza di un Popolo parte come ci dice Fichte dall'educazione in cui il singolo è inserito, allora (come dimostrano i fatti) l'italiano non ha coscienza dell'ambiente in cui si ritrova. Conosce la scienza solo per mezzo della tecnologia ma non è in grado di comprenderla veramente e non è quindi nemmeno nelle condizioni di capire il mondo. Compito politico del filosofo è quello di far emergere la coscienza degli uomini perché non regrediscano al rango di bestie. Ma come potrà il filosofo attuare questo compito se nemmeno lui non conosce la scienza e la matematica? Come si può parlare (come molti fanno) di teoria della relatività, di Galileo e di Newton se non sanno nemmeno calcolare una equazione differenziale? Del resto la tradizione contemporanea non facilita questo compito al filosofo che si trova smarrito in una serie di testi che disprezzano la scienza. Heidegger considerava gli scienziati niente di meno che artigiani sostenendo che il loro compito è meno duro di quello del filosofo (lui si riferiva in particolare alla vita difficile del filosofo sempre contro il senso comune: ovviamente Heidegger appena ne ha avuto la possibilità si è schierato dalla parte dei nazisti contrariamente a molti scienziati ed intellettuali che hanno preferito la libertà di espressione e di pensiero). Auspico che i nuovi filosofi possano comprendere tutto questo e invece di rifugiarsi nei testi di Aristotele o di Marx (testi fondamentali non c'è dubbio) possano aprire le proprie menti alle altre dimensioni senza troppi pregiudizi altrimenti la filosofia rischia di diventare prima che amore per il sapere amore per la chiacchiera.




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22 ottobre 2005

Fassino: "un tratto di civiltà"

Il segretario dei DS Fassino ha finalmente deciso di mostrare a tutti gli Italiani qual è il Dovere di un politico. Si è presentato dalla De Filippi per incontrare la sua tata sostenendo che questo oltre ad essere un tratto di normalità è sopratutto di civiltà. Ora, io non so cosa Fassino intenda per normalità o per civiltà ma dubito fortemente della sua onestà.
La sinistra è diventata un agglomerato di falsità e demagogia, lontana mille miglia dal significato originario di sinistra opposto a quello di destra. La verità è che Berlusconi per conquistare gli elettori ci riempie di propaganda, Fassino la fa comunque anche se in modo più subdolo partecipando ai programmi dei pensionati e delle casalinghe per conquistarne il favore visto che ha capito che è inutile andare nelle trasmissione dedicate ai temi politici che tanto nessuno guarda!




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7 ottobre 2005

Piccola riflessione sul concetto di assurdo

Il concetto di assurdo è a mio avviso un concetto piuttosto affascinante, anche perché dal medioevo in poi (sopratutto a partire dagli scotiani) ha acquisito nei secoli numerose interpretazioni. Ora io ne darò una: se neghiamo un enunciato allora questo significa che esso implica un assurdo.
Seguendo tale idea vediamo dove ci può portare. Una legge logica accettata razionalmente è ad esempio la legge di contrapposizione debole (a --> b)  --> ( -b --> -a). Ora, per tutti gli x se x è un enunciato negato allora esso implica un assurdo (sia esso k). Prendendo per buona questa definizione si ha (a --> b) --> ((b --> k) --> (a --k)) ossia la legge di transitività.
Per i filosofi, il paradosso di Zenone viene usato per refutare un'ipotesi a mostrando che essa implica sia un certo b che la sua negazione -b, ossia formalizzata (a --> b) --> ((a --> -b) --> -a). Trasformandola abbiamo (a --> b) --> ((a --> (b --> k)) --> (a -->k)) che se qualcuno è sveglio non è altro che la legge di Frege ma trasposta.
Tuttavia non ho ancora fatto delle ipotesi sulla natura di questo assurdo, a parte il fatto che esso sia una formula. Ovviamente la forza di questa concezione si basa oltre che l'ipotesi sulla natura di k, anche sulla natura dell'implicazione. Per fare un esempio chiaro a tutti perlopiù, la legge del terzo escluso (a v -a) è una legge logica accettabile solo se il concetto di --> è quello codificato dai lemmi di Tarski. Infatti a v -a si trasforma in a v (a --> k) che è un lemma T, ossia un lemma valido se e solo se si accetta l'introduzione all'interno dei lemmi implicativi direttamente positivi della legge di Peirce: ((a --> b) -->  a) --> a
Per gli amici informatici invece, la celebre legge di De Morgan, precisamente -(a ^ b) --> ( -a v -b), si trasforma in ((a ^ b) --> k) --> (a --> k) v (b -->k) che è un lemma codificato dagli assiomi di Bull (v. la mia seconda parte sul calcolo assiomatico).

Godel.




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7 ottobre 2005

Esercizio facile facile

Vi propongo un altro esercizietto da fare (stavolta però non con i disegnini perché non ho più voglia di farli... :P) abbastanza semplice: il tema è la logica proposizionale.

A tre amministratori (Pini, Querci e Rovi) de "il cannocchiale" viene proposto di decidere la chiusura o meno del mio blog. Si riuniscono, discutono e votano. Al termine della riunione si scopre questo: Pini dice: se Querci ha votato a favore allora anche Rovi l'ha fatto; Querci a sua volta dice: se Rovi ha votato contro anche Pini l'ha fatto; Rovi infine dichiara per ultimo: Querci ha votato a favore mentre Pini ha votato contro.
Il proprietario del suddetto blog preoccupato e che ha evidentemente scarse attitudini logiche, vuole capire come sta la situazione e si domanda: [1] le dichiarazione rese dai tre sono tra di loro compatibili? [2] Se tutti hanno votato a favore chi mente? [3] Se tutti hanno votatao contro chi mente? [4] Se tutti hanno detto il vero, chi ha votato a favore e chi contro? [5]  E se tutti hanno viceversa mentito? [6] Se uno solo ha dichiarato il vero chi è e come si è votato?


Ps. Consigli per gli acquisti: se per caso avete soldi da buttare vi consiglio di acquistare questo meraviglioso testo di algebra della Boringhieri:




Godel.




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4 ottobre 2005

Soluzioni del mio terribile esercizio :)

1    B
2    H
3    D
4    E
5    F
6    C
7    B
8    A
9    G
10   F


Ecco qui...mi raccomando di registrare al più presto il voto nel libretto !!

:-)




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2 ottobre 2005

Giocare con gli insiemi

La logica prevede oltre che uno studio per così dire "teorico" anche una fase "pratica". E' impossibile comprendere a fondo questa disciplina senza fare degli esercizi, che possono aiutarci nel comprendere se abbiamo capito o meno l'argomento, ma anche stimolare riflessioni sullo stesso.

Eccone qualcuno che ho creato appositamente. Non servono conti, ma solo un po' di intuizione :)

Fissiamo un modello in cui il dominio U è l'intervallo reale ad esempio da 0 a 1. Rappresentiamo U2 come un quadrato in cui ogni punto corrisponde ad una coppia ordinata.



Dire quale delle figure qua sotto rappresentano i seguenti insiemi in cui l'area colorata è quella appaartenente e gli insiemi P e Q sono rappresentati dai segmenti in grasseto nell'asse orizzontale e verticale.

1 P X Q    2 Q X P    3 P X U    4 Q X U    5 U X P    6 U X Q    7 (P X U) intersecato (U X Q)

8 (PX U) unito ( U X Q)    9 (P X Q) intersecato U    10 U X P intersecato U X Q


A


B


C


D


E


F


G


H


Le soluzioni le darò quando qualcuno (se ce ne sarà) inizierà a farli  :-)

Ciao

Godel





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1 ottobre 2005

Pensierino delle 0:57

Se un enunciato enuncia che un certo individuo gode o meno di una certa proprietà è vero se e solo se gode o meno di quella proprietà, la eventuale natura di quella proprietà è del tutto irrilevante ai fini della verifica dell'enunciato. In altri termini: la verità di un enunciato dipende esclusivamente dal suo grafo. Ciò ovviamente vale in una qualunque relazione k-aria.


Godel




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30 settembre 2005

Elementi di logica nella teoria degli insiemi: le relazioni

Fino a Frege la filosofia e la logica si sono occupate unicamente delle proposizioni soggetto-predicato. E' solo con Frege che la logica prende una svolta decisiva, andando oltre Aristotele e Crisippo che si erano occupati solo della logica proposizionale. Frege sviluppa la logica predicativa interpretando il soggetto-predicato solo come una particolare relazione; infatti dire "quattro è la somma di tre più uno" è una predicazione di identità (monadica per Russell), mentre "Aldo è amico di Giuseppe" non lo è certamente, ma è piuttosto una relazione che formalizzata: A(a,g) ove A sta per "è amico di", a per "Aldo" e g per "Giuseppe". E' interessante notare che A(a,g) non è lo stesso che dire A(g,a). Abbiamo capito quindi che l'ordine degli argomenti conta effettivamente nelle relazioni, in particolare <a,g> si dice coppia ordinata.

Ma andiamo più a fondo, in particolare confrontandoci con la teoria degli insiemi. In un insieme del tipo P = [ 0, 1, 4, 5 ] non è importante né l'ordine degli elementi (per cui dire [0,1,4,5] è lo stesso che dire [0,4,1,5] ) né la ripetizione di uno o più elementi ( [0,1] è identico a [0,0,1] ).
Dati due insiemi V e Q, definiamo il prodotto cartesiano come l'insieme delle coppie in cui il primo elemento appartiene a V e il secondo a Q:

V X Q : = [ <x,y> : xV, yQ ]

ove xV e yQ significano rispettivamente che x appartiene a V e y appartiene a Q (notazione infissa). Una potenza cartesiana n-esima di V è definita come:

Vn : = [ <x1, ..., xn> : (x1, ..., xn)V]

Bene, dal punto di vista della teoria degli insiemi una relazione n-aria non è altro che un sottoinsieme della potenza cartesiana. In particolare sarà una relazione binaria se e solo se n=2. Fissato un universo U (l'insieme che contiene tutti gli oggetti possibili) le relazioni più semplici che sono definibili in U sono: 0 (insieme vuoto) e U2.

Ora mostriamo come logica e matematica possono coincidere quando si vuole utilizzare ad esempio la notazione cartesiana per rappresentare graficamente relazioni. Il procedimento più intelligente da utilizzare sarà quello di rappresentare prima l'universo elevato alla seconda U2, poi per ogni coppia <x,y> disegnare un punto sul piano cartesiano.

Fissiamo ad esempio come universo U = [0,1,2,3,4]. La relazione R = [ <0,1>,<1,1>,<2,3>,<2,4>,<4,2> ] può essere rappresentata così in un diagramma cartesiano:




E' interessante notare che graficamente la relazione R = [ <x,x> : xU]



forma una bella diagonale di punti :)

Godel




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28 settembre 2005

Le cialtronerie filosofiche di Cacciari

Beccatevi qualche cacciariata (sgrammaticata e oscura, anzi oscurissima) del filosofo nostrano:

"Nell'ambito del possibile e' necessario sia possibile anche il possibile con cio' che e' possibile in opposizione all'imposizione dell'impossibile." Rabelais a confronto e' un dilettante quando scrive: "Omnis clocha clochabilis in clocherio clochando clochative clochare facit clochabiliter clochantes."

"O non dovremmo di nuovo chiederci 'da dove' Lui stesso? In precedenza la risposta al 'da dove' si sarebbe potuta anche così formulare: dal Ni-ente che Dio stesso è, dal Nihil sui. (Ma il Ni-ente come si dà a conoscere? Se è Ni-ente, o ha il Ni-ente in sé, Dio ignorerà se stesso [...]). Ma ora si tratta di Dio stesso, non della sua creazione ad extra. 'Da dove' il suo volere se stesso? Egli non può non volersi. Ma potrebbe volere l'esse di questa volontà?"

"La provenienza dell'ente, il suo 'nascimento' primo, mai è esauribile nella presenza determinata-determinabile, eppure è evidente in essa e con essa. Che l'ente determinato ek-sista dall''immemorabile' è qui-e-ora assolutamente evidente e tuttavia assolutamente non determinabile"

"L'apparire non è l'astrattamente altro di tale custodirsi presso di sè proprio della cosa; ciò che appare è appunto che il proprio della cosa, la singolarità del questo, si nasconde"






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25 settembre 2005

Matematica e arte

Non sarebbe difficile concentrarsi sulla musica, di cui abbiamo già utilizzato la sintassi e la grammatica come metafore, e notarne legami a tutto campo con la matematica, iniziando dagli studi sull'armonia di Pitagora e terminando con le composizioni di Pierre Boulez e Philip Glass, entrambi laureati in matematica ed esponenti contemporanei fra i più noti e rappresentativi.

Temiamo però che, a causa del degrado in cui anche l'alfabetizzazione musicale si trova nel nostro paese, far divulgare la matematica attraverso la musica sarebbe come far accompagnare un cieco da un cieco (o, visto l'argomento, da un sordo).

Preferiamo dunque rivolgere l'attenzione alle arti visive quali l'architettura e la pittura, dove è appunto sufficiente non essere ciechi per poter vedere le connessioni, una volta allertati. Anche un miope intellettuale noterebbe da solo un generico ruolo fondamentale della geometria in questo campo, e possiamo dunque concentrarci su alcune nozioni più specifiche.

La sezione aurea è definita come il rapporto fra la diagonale e il lato di un pentagono regolare: le sue diagonali formano una piacevole stella a cinque punte usata dai Pitagorici fino alle Brigate Rosse, e che si ritrova nella tradizione ebraica come «sigillo di Salomone», in Goethe come «piede di strega» che impedisce a Mefistofele di uscire dallo studio di Faust, e nelle stelle della bandiera degli Stati Uniti. Benché la definizione della sezione aurea sembri piuttosto innocua, essa in realtà produce un numero (uguale a circa 1,618) che, come dice appunto il nome, rappresenta una estetica proporzione: essa fu usata nella costruzione della Grande Piramide e del Partenone, e la si ritrova anche in natura, ad esempio fra le lunghezze di falangi consecutive delle dita di una mano, o nella spirale logaritmica delle conchiglie Nautilus. Il libro più famoso sull'argomento è probabilmente il De divina proportione di Luca Pacioli, del 1509, che incorporava fra l'altro il trattato sui solidi platonici De quinque corporibus regolaribus di Piero della Francesca, ed era illustrato nientemeno che da sessanta tavole di Leonardo, che raffiguravano appunto vari solidi mediante una rappresentazione scheletrica che è oggi ben nota.

La prospettiva, che è la rappresentazione realistica di scene spaziali su di un piano, sembra essere stata scoperta nell'antichità classica, perduta nei secoli bui, ritrovata da Filippo Brunelleschi verso il 1420, pubblicata nel 1436 nel Trattato della pittura di Leon Battista Alberti, e sistematizzata da Piero della Francesca nel 1478 in De prospectiva pingendi. Essa si è poi sviluppata parallelamente nella pittura e nella matematica, creando da un lato la ben nota tecnica di rappresentazione, e dall'altro la geometria descrittiva.

Leonardo da Vinci sembra essere stato il primo ad introdurre, attorno al 1500, le anamorfosi, cioè le rappresentazioni che appaiono corrette soltanto se osservate da un punto di vista particolare (necessarie ad esempio per dipingere scene su cupole, in modo che esse non risultino deformate se guardate dal basso). L'esempio più noto di questa tecnica è il quadro I due ambasciatori di Holbein, del 1533, in cui una macchia apparentemente amorfa appare come un teschio se osservata da un lato del dipinto. L'anamorfosi ispirò a Desargues nel 1639 la geometria proiettiva, che è appunto lo studio delle proprietà che sono invarianti rispetto a proiezione, e che si sviluppò in una delle branche fondamentali della matematica.

Oltre al già citato Leonardo, che fra l'altro aprì il suo Trattato della pittura con il motto «proibita la lettura ai non matematici», fra gli artisti particolarmente sensibili agli aspetti geometrici si possono ricordare: i mori spagnoli, che trasformarono le tessellazioni del piano in una forma d'arte, culminata nei mosaici dell'Alhambra di Granada; Albrecht Dürer, che scrisse un libro sulle figure piane e solide, e produsse l'incisione Melanconia, in cui compaiono strani solidi ed un quadrato magico; Paolo Uccello, che venne addirittura «accusato» dal Vasari di essere più un matematico che un artista, ed a cui si deve un mosaico poliedrico sul pavimento della Basilica di San Marco a Venezia; Wassily Kandinsky, che teorizzò nel 1912, ne Lo spirituale nell'arte, la sostituzione dell'immaginazione dell'artista con la concezione matematica, e sviluppò questo approccio nel 1926 in Punto, linea e superficie; Piet Mondrian, che nel 1920 paragonava in Neoplasticismo la sua pittura, interamente costituita di piani rettangolari colorati, all'astrattismo della matematica, con meno assolutezza e più plasticità; Salvator Dalí, che ambientò l'Ultima cena in una struttura dodecaedrica simboleggiante i 12 apostoli, rappresentò nella Crocifissione (Corpus hypercubicus) la croce come lo sviluppo tridimensionale di un ipercubo, e strutturò la Leda atomica sulla sezione aurea; Maurits Cornelius Escher, che ebbe contatti con famosi matematici, popolò i suoi personalissimi disegni di solidi di ogni genere, e rappresentò in forma artistica modelli della geometria iperbolica; e il contemporaneo Lucio Saffaro, a cui si devono addirittura nuove classi di poliedri, che egli ha poi rappresentato nelle proprie opere.

La storia del continuo e bidirezionale rapporto fra matematica e pittura non è certo finita: le nuove possibilità offerte dalla grafica computerizzata hanno ad esempio permesso la creazione di modelli visivi di superfici e composizioni geometriche che hanno assunto l'aspetto di una vera e propria nuova forma d'arte, di cui i frattali sono forse l'espressione più nota ed appariscente, ed i cui aspetti estetici sono appunto discussi da Heinz-Otto Peitgen e Peter Richter ne La bellezza dei frattali(Boringhieri, 1987).

Naturalmente le rappresentazioni informatiche di modelli matematici non sono necessariamente statiche, il che ci porta ad accennare brevemente al cinema: come già nel caso della letteratura, anche qui le connessioni con la matematica sono a «tutto campo». Matematici possono essere i protagonisti, come in: Cane di paglia di Sam Peckinpah, con Dustin Hoffman, del 1971; Non ho tempo di Ansano Giannarelli, del 1973, che narra l'avventurosa vita di Evariste Galois (e in cui il matematico Lucio Lombardo Radice recitava una parte); Bianca di Nanni Moretti, del 1976, in cui appare anche il quadrato magico del dipinto di Dürer; Morte di un matematico napoletano di Mario Martone, del 1992; ... Matematico può essere l'argomento, come nei numerosi cortometraggi di Michele Emmer, matematico e regista. Addirittura matematica può essere la struttura, come nei due film di Alain Resnais Smoking e No smoking, del 1993, in cui tre biforcazioni nel racconto generano 12 storie diverse.


P. Odifreddi




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24 settembre 2005

Film da vedere - La caduta degli dei



Ho visto da poco "La caduta degli dei" di Visconti e vi consiglio caldamente di dargli una occhiata. Corruzione, potere, pedofilia, decandenza sullo sfondo della venuta del nazi-socialismo. Una società aristocratica che collassa rapidamente simboleggiata dalla famiglia Essenbeck, manovrata dal corso della storia e del suo inevitabile crollo. Il destino di morte sembra infatti percorrere l'intera vicenda che si conclude con un tragico e brutale incesto. L'odio e l'innocenza dei protagonisti si mescolano e trovano il loro risultato nella figura indifferente di Aschenbach, nome che ricorda fin troppo bene l'altro capitolo della trilogia tedesca dello stesso Visconti ne la "Morte a Venezia". Il film si chiude nella scena della festa, magistrale nella sua malinconia e morbosità (e dunque perfettamente viscontiana direi). Insomma, se non avete niete di meglio da fare compratelo, noleggiatelo o (ma non l'ho mai detto) scaricatelo.

Godel.




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21 settembre 2005

Il dilemma di Paul Benacerraf

Nel 1973 un certo Paul Benacerraf propose in un testo molto interessante per questioni relative alla filosofia della matematica, cioè Mathematical Truth, in cui egli affronta la natura delle verità matematiche avendo davanti a sé le teorie platoniste e intuizioniste. Come avere una semantica che spieghi la verità degli asserti matematici? E anche: come giustifichiamo la nostra conoscenza della matematica? La prima questione richiede secondo Benacerraf di interpretare asserti come "la radice quadrata di due è un numero irrazionale" allo stesso modo in cui si interpretano proposizioni come "Il padre di Claudio è Antonio" per fare un esempio. La forma logica è la stessa tra i due asserti, ma perché la prima sia vera dobbiamo ammettere l'esistenza della radice quadrata di due. Ma se accettiamo questa proposta allora dice Benacerraf stiamo implicitamente sostenendo una posizione platonista della matematica, ossia ammettiamo che i termini numerici funzionino come nel linguaggio naturale. La seconda questione viene affrontata da Benacerraf sulla svolta intuizionista, ossia prendendo a modello la teoria causale della conoscenza. Infatti affinché un qualsiasi soggetto conoscente X sappia se S è vero è necessario che vi sia una relazione causale tra X e S (predicati, nomi, quantificatori, etc.). Più in generale è necessario che vi sia una relazione tra un soggetto e un referente. Ma, conclude Benacerraf, se il platonismo era necessario per una semantica del linguaggio matematico, i numeri devono essere entità astratte, eterne ed immutabili e come tali inerti dal punto di vista causale. Tali entità non possono fare parte di un ordine spazio-temporale e perciò non possono entrare in relazione col soggetto conoscente. Quindi secondo Benacerraf è impossibile soddisfare entrambi i contendenti del dilemma.
E voi cosa ne pensate di questa ripresa sostanzialmente dei critici platonici?

Godel







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16 settembre 2005

Che cos'è un tavolo? La proposta tridimensionalista

Prendendo come spunto i saggi di Varzi proverò a spiegare in poche righe la proposta tridimensionalista nell'orizzonte della filosofia analitica alla fine degli anni sessanta. In quel periodo i filosofi di stampo analitico iniziano a porsi questioni sulla natura degli oggetti materiali. Ad esempio: che cos'è un tavolo? che cos'è un qualunque x materiale? Prima della svolta strawsoniana ci si poneva domande sulla natura degli oggetti matematici, delle proposizioni, dei nomi propri, etc. Ma mai ci si era posti il problema degli oggetti che erano perlopiù dati per scontato all'interno del dibattito analitico. Ed è Strawson che partorisce per primo una distinzione fondamentale: gli oggetti sono dei particolari (per distinguerli dagli universali, altro polo del dibattito) che si estendono nello spazio e durano nel tempo accessibili con li strumenti di misurazione di cui disponiamo. Gli eventi invece sono estesi sia nel tempo che nello spazio. Ad esempio:

1) l'oggetto x è un tavolo

2) C'è un evento che è la fabbricazione di x



E' interessante notare che le definizioni di spazio e di tempo sono ancora sotto questa prospettiva saldamente ancorate all'intuizione.
Il tridimensionalismo parte dalla teoria di Strawson e vede negli scritti di Wiggins la rappresentanza più significativa. La tesi dominante in questa concezione è che "per tutte le cose, se x è una cosa allora x è un qualcosa". Wiggins sostiene che due tavoli, ad esempio, non possono occupare la medesima regione di spazio; tuttavia due oggetti di tipo diverso sì come nel caso della città di Amburgo e dello stato di Amburgo, che possono dunque occupare le stesse coordinate spaziali.

Vediamo per capire questa distinzione come il tridimensionalismo consenta di dare risposta a due problemi di stampo quasi platonico come nel Parmenide:

A) Immaginiamo di trovarci in una stanza con davanti un tavolo in un certo tempo t-0 e di lasciare che il tempo passi tranquillamente fino a t-1. Secondo l'intuizione sensibile, cosa ci consente di dire che il tavolo in t-0 è lo stesso in t-1?

B) Prendiamo sempre un tavolo x, e ammettiamo di staccare una parte piccolissima, anzi insignificante dal tavolo x (sia questa parte y); ciò che rimane dopo aver staccato y è z.
Ora, se teniamo ferma l'intuizione sensibile sembrerebbe che anche dopo aver staccato y (che è praticamente insignificante)  z sia identico a x. Succede quindi che o affermiamo che dopo aver staccato y, z e x sono identici pur non coincidendo o affermiamo che prima di staccare y, z e x non sono identici ma coincidono.



Vediamo ora come il tridimensionalista si appresta a risolvere questi piccoli rompicapi:

A) Se all'istante t-1 il tavolo non fosse più lo stesso, significherebbe che esso non sarebbe più il tavolo iniziale. Dunque non c'è nessun problema a ritenere per data la loro coincidenza spaziale: in definitiva ci troviamo con due tipi di tavolo diversi.

B) Per la teoria tridimensionalista anche il secondo rompicapo si risolve, perché x è un tavolo ma z non lo è in quanto indroducendo z l'abbiamo posto implicitamente come parte di x ( e nessuna parte di un tavolo è a sua volta un tavolo). Quindi z e x sono due oggetti di tipo diverso e non c'è nulla di strano nel ritenere che entrambi possano occupare la medesima regione di spazio.

Ovviamente questa teoria è criticabile su moltissime questioni, a partire dalla sua "fede" assoluta nell'intuizione sensibile e nella nozione di tipo.


Godel. 




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10 settembre 2005

L'importanza di essere chiari...

Quanto conta la chiarezza secondo voi in filosofia? Secondo la tradizione analitica essa è fondamentale per evitare errori che possono essere fuorvianti. Questa concezione portò Russell e Moore ad affermare in contrapposizione con l'idealismo (sopratutto inglese) che gran parte dei problemi della metafisica derivavano da una cattiva grammatica e da una terminologia perlopiù oscura e volutamente complicata (come il "nulla nullificante"). Carnap arrivò addirittura a piazzare alle proposizioni metafisiche la caratteristica di "pseudoproposizioni".
Per me la chiarezza è fondamentale non solo per un filosofo, ma per tutte le discipline che vogliono comunicare qualcosa di sensato.

Godel




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7 settembre 2005

Piccolo breviario per il calcolo assiomatico (parte 2a)

Questa in teoria è l'ultima parte del breviario, che ovviamente si tratta di un riassunto ancora più che microscopico ma che serve tanto per dare una idea e rendere quantomeno leggibile i miei prossimi post. La prima parte del breviario, per chi non l'avesse letta, la trovate due post più sotto... Fatene quindi buon uso se potete e volete!
Dicevo nell'altro post che andando avanti con le dimostrazioni si possono ricavare molte leggi condizionali positive (P), ed inoltre nuove regole di inferenza che sono eliminabili (per un sistema S su di un linguaggio L), cioè valide nel sistema di riferimento per tutti i possibili lemmi P.

E' possibile però estendere il nostro sistema aggiungendo nuovi assiomi oltre quelli dati nello scorso post che definiscono il comportamento per esempio dei connettivi. Ad esempio:

A 2.1 (a ^ b) --> b        A 2.2 a --> (a v b)        A 2.3 (a --> b) --> ((b --> a) --> (a <--> b))

Possiamo così ricavare molte nuove leggi introducendo nuovi assiomi ed estendendo così i connettivi nella concezione classica.

Tuttavia i lemmi possono essere estesi ulteriormente avanzando ulteriori assiomi, come nel caso dei lemmi di tipo B (da Bull) e di tipo T (da Tarski):

Assioma di Bull  (a --> (b --> y)) --> (((b --> a) --> y) --> y)

E' ora possibile dimostrare ulteriori lemmi partendo dalla legge di Bull e dagli assiomi precedenti, ovvero l'insieme P di tutte le leggi condizionali positive appartiene all'insieme B, i cui elementi sono tutti e soli i lemmi di P con l'aggiunta dell'assioma di Bull.

Analogamente i lemmi di tipo T si basano sull'introduzione della legge di Peirce:

((a --> b) --> a) --> a

I quali contengono oltre che i lemmi positivi anche quelli di tipo B.

E' abbastanza interessante notare che non esiste alcuno schema di assiomi che aggiunto a B generi T, ma aggiunto a P generi un sistema più debole di T.


Godel.




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4 settembre 2005

Qualche obiezione al pensiero di Emanuele Severino

Proviamo a problematizzare un attimino il pensiero di Severino prima dell'ottima pasta allo scoglio che mi cucinerò sta sera. Senza troppi intermezzi enunciamo subito i problemi:

1) L'essere, il nulla e il linguaggio: Qual è il rapporto tra le categorie ontologiche di Severino in rapporto al linguaggio? E se termini come essere e nulla avessero significato solamente nel linguaggio e quindi l'ontologia si riducesse drasticamente alla filosofia del linguaggio cosa ne rimarrebbe delle proposizioni metafisiche?

2) Attualità e eternità: Se tutti gli enti sono eterni ed immutabili e il divenire viene interpretato nei termini di apparire o scomparire degli stessi, c'è sempre un ente che nel pensiero di Severino si annulla: l'attualità di un evento. Quando un ente scompare (ad esempio una mela) noi non possiamo dire che la mela non c'è più, il che equivarrebbe a dire la mela (un positivo) è nulla (un negativo). La mela si è ritirata dall'orizzonte dell'apparire ma non si è annullata. E del fatto che la mela attualmente non c'è più come la mettiamo? Severino risponderebbe: beh, anche l'attualità è ovviamente scomparsa. Ma se l'attualità è scomparsa allora ciò significa che non è più attuale e quindi che qualcosa è diventato nulla (nichilismo).

3) Il regressus in indefinitum: Severino a più riprese per evitare i regressi all'infinito cerca una autofondazione dei principi. Ma quanto è possibile il tipo di findazione di Severino? Ovvero: nel caso dell'apparire che scompare, Severino afferma che l'apparire dell'apparire dell'apparire (e così via) è sempre e comunque apparire e quindi il regresso non si formerebbe. Ma una funzione può realmente avere come contenuto se stessa? E' questo n è semplicemente un problema di tempo che non ha nulla a che vedere con la logica (come Severino afferma nella "Struttura originaria") ma è un problema meramente logico.


4) La copula: Il discorso di Severino per quanto riguarda l'identità funziona solo se viene tenuta ferma la copula "è". Ora, io non sono espertissimo su questa questione, ma ho sentito che il cinese ad esempio non ha la copula. Questo mette la filosofia di Severino in stretta relazione con i problemi linguistici e in questo senso la può ridurre.


A presto,

Godel




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31 agosto 2005

Piccolo breviario per il calcolo assiomatico (parte 1a)

Visto che ho intenzione di trattare presto il problema dell'assurdo dal punto di vista logico, ho pensato di dare a chi magari non ha alcuna base sul calcolo assiomatico un piccolo breviario che dovrebbe aiutare nel seguire almeno la discussione. Non so se servirà a molto, ma se avete qualche problema potete tranquillamente fare domande.

Il calcolo assiomatico ovviamente si basa su degli assiomi. Cosa sono gli assiomi? Gli assiomi sono particolari tipi di postulati che consistono in formule prese per vere senza alcuna dimostrazione. Risparmio a tutti la problematica sulla certezza degli assiomi che va da Aristotele fino ai giorni nostri.

Dunque ci sono degli assiomi. Ma quali? Per ora mi interesserò solo di alcune leggi logiche dette leggi condizionali direttamente positive. Esse si basano su due assiomi e una regola di inferenza, che sono:

a) in una formula della forma
a --> ( a1-->  ( a2 -->  (ak -->  ak+1) ...)) è un condizionale direttamente positivo se e solo se (sse) il conseguente è uno dei sui antecedenti come in
b) una formula è direttamente positiva sse è ricavabile tramite la regola di separazione (RS):  ((a , a -->  b) \ b) che si legge per chi non lo sapesse: se a e se a implica b, allora b (ho usato il simbolo \ come simbolo di asserzione perché sto cavolo di blog non legge il codice Ascii!) . 
c) tralascio la dimostrazione dell'assioma che darò (anche se si ricava dalla combinazione di RS con la regola a), detto legge di Frege: a --> ( b--> y) --> ( a --> b) --> ( a --> y).

Riassumendo abbiamo due assiomi e una regola di inferenza:

A 1.1
-->  ( a -->  b)
A 2.1 a --> ( b--> y) --> ( a --> b) --> ( a -->
y)
RS
  (a , a --> b) \ b

Alla luce di tutto questo, dimostriamo la legge più semplice al mondo: la legge di identità ovvero a --> a


1 ( a --> (( a --> a) --> a)) --> (( a --> (a --> a) --> (a --> a))      A 1.2
2 a --> (( a --> a) --> a)                                                                 A 1.1
3 ( a --> (a --> a) --> (a --> a)                                                       RS (1,2)
4 a --> (a --> a)                                                                              A 1.1
5 a --> a                                                                                          RS (3,4)

Eccovi la spiegazione passo passo del calcolo. La prima riga non è altro che uno dei tanti modi di esprimere A 1.1 (ricordate che le lettere stanno per metavariabili, cioè è possibile sostituire ad esse formule o enunciati) e così per la seconda riga. Alla terza abbiamo applicato al regola di separazione tra 1 e 2 "tagliandone" così un pezzettino. Alla 4 abbiamo introdotto un assioma sempre valido in quanto sempre fondato su A 1.1 e abbiamo riapplicato RS tra 3 e 4 ricavandone infine la legge di identità a --> a.
Ora partendo da qui è possibile (ma non vedremo per ora come) ricavare teoremi su teoremi e addirittura nuove regole di inferenza che permettono di semplificare notevolmente il calcolo. 
Se ci sono domande e se sopratutto siete vivi fino a qui potete farle tranquillamente :)

Godel




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28 agosto 2005

I fondamenti della democrazia: una indagine da logico

In questo momento storico per un motivo o per l'altro, si sente parlare sempre più spesso della parola democrazia. Quando però si accende la tv o si legge il giornale ci si ritrova davanti a una caterba di analisi poco interessanti, vuote e perlopiù propagandiste. Ma è solo questo il modo di parlare politicamente? Ovviamente no!
 
Nel 1952 un certo Kenneth May si pose una domanda apparentemente scontata. Se democrazia significa "governo del popolo" ma tramite votazione solo una parte politica va al potere si può ancora parlare di governo del popolo o di governo della maggioranza? La risposta è squisitamente interessante sotto il profilo logico.

Prendiamo per semplificare la cosa un procedimento di votazione tra due sole alternative A e B. Ci sono degli assiomi che costituiscono una votazione democratica, e sono:


A 1.1  Libertà individuale: ogni preferenza individuale è accettabile

A 1.2  Dipendenza dal voto: il risultato della votazione fra due alternative è determinato solo dai voti su di esse.

A 1.3  Monotonicità: se un'alternativa vince in una votazione, continua a vincere in ogni votazione in cui prenda più voti.

A 1.4  Anonimato: non esistono votanti privilegiati.

Si consideri una votazione fra le due alternative A e B. Per l'assioma A 1.2 soltanto gli insiemi Va (i votanti che preferiscono A a B) e Vb (i votanti che preferiscono B a A) determinano il risultato della votazione. Visto che l'assioma A 1.4 pone che tutti contino allo stesso modo, allora solo na (il numero degli elementi dell'insieme Va) e nb (il numero degli elementi dell'insieme Vb) hanno gli stessi privilegi.

Ipotizziamo che  (na > nb) --> V(b), ovvero se il numero dei votanti per A è maggiore di quello per B, allora è B a vincere. Vediamo cosa succede per questa ipotesi seguendo il sistema di assiomi impostato [ A 1.1, A 1.2, A 1.3, A 1.4].

Per A 1.1 possiamo pensare una situazione in cui i votanti scambino i loro voti (votino A se prima votavano B, e votino B se prima votavano A). A questo punto avremo una situazione simmetrica a quella precedente ma con i voti ovviamente scambiati.
In questa situazione per A 1.2 sarebbe ora A a dover vincere (perché B vinceva prima). Ma per A 1.3 dovrebbe vincere B (perché B vinceva prima). Avendo rilevato una contraddizione l'ipotesi fatta non è valida e quindi avendo solo due alternative (A v B) vincerà A.

Come potete vedere è possibile utilizzare la logica anche per analizzare ai fondamenti la politica. Il fatto è che spesso i nostri politici preferiscono creare partiti che inneggino al tifo calcistico (Forza xxxxxx!) piuttosto che parlare in maniera un attimino più concreta.

Alla prossima!

Godel






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27 agosto 2005

Che cos'è l'algebra booleana?

La storia della logica è certamente lunga e complessa. Ma se dovessimo posizionare delle bandierine, certamente una apparterrebbe a George Boole, che nel 1847 scrisse un'opera, la "Analisi matematica della logica", destinata ad avere grande eco per le scienze.
Sostanzialmente l'idea è quella di attribuire per ogni valore di verità (in questo caso per vero e falso) un valore numerico, e interpretare la connessione in base alle operazioni algebriche.
Boole assegnò rispettivamente al falso lo zero e al vero l'uno. Ipotizzato ciò, si tratta di interpretare la negazione ad esempio come un una sottrazione del tipo 1 - q, ove q è la variabile da negare che può assumere solo i valori 0 e 1. In dettaglio si ha che:

1 - 1 = 0 (se q è vero)
1 - 0 = 1 (se q è falso)

Se la negazione può essere interpretata come una sottrazione tra interi, la congiunzione è possibile pensarla come una moltiplicazione tra due congiunti p * q. Quand'è la congiunzione è vera? Quando entrambi i congiunti sono veri. E quand'è che è falsa? in tutti gli altri casi. Dunque:

1 * 1 = 1 (se p è vera e q è vera)
0 * 1 = 0
1 * 0 = 0
0 * 0 = 0

E la disgiunzione? Una disgiunzione è falsa se e solo se entrambi i disgiunti sono falsi. Nell'algebra booleana viene interpretata come una somma:

1 + 1 =1 + 0 = 0 + 1= 1
0 + 0 = 0

L'importanza dell'algebra booleana è stata quella di mostrare che l'intera logica è interpretabile algebricamente, ossia è possibile ridurre la logica all'algebra sotto particolari condizioni. 
Trovo interessante che il pensiero di padri della logica matematica come Frege, propongano l'esatto contrario; cioè la riduzione della matematica alla sola logica. In meno di 50 anni il pensiero logico ha invertito quindi completamente tendenza.


L'algebra booleana trova solo oggi il posto che si merita. Infatti al tempo l'opera di Boole è passata quasi completamente inosservata, mentre oggi se ne fa larghissimo uso nel campo della programmazione ad esempio. I segnali elettrici sono infatti interpretabili come sequenze zero-uno, ed è possibile ormai da molti anni interagire con i calcolatori tramite l'algebra booleana. Insomma, abbiamo dovuto attendere l'informatica perché qualcuno rendesse giustizia a Boole e alla sua opera.

Godel




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24 agosto 2005

Pensierino della sera

Sono arrivato alla conclusione che studiare la storia della filosofia non solo è inutile ma è anche dannoso per l'intelligenza. La storia della filosofia uccide la creatività, leggere troppi classici atrofizza il pensiero e il genio. Wittgenstein non conosceva nemmeno 1/4 dei pensatori occidentali eppure è ed era un gran filosofo.




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23 agosto 2005

Un dialogo possibile tra filosofia e matematica: Kant e Hilbert

Premessa

Dal mio punto di vista occorre sempre di più un dialogo concreto tra le discipline umanistiche e quelle scientifiche. Credo fermamente che l'uomo abbia bisogno di entrambe le dimensioni senza privilegiare troppo una rispetto all'altra. Sono contrario alla scuola di Gentile secondo cui il compito delle materie umanistiche è quello di formare mentre quelle scientifiche non sono in grado di farlo. A parte il fatto che io non considero la filosofia una disciplina umanistica (ma di questo parlerò un'altra volta) credo che la scienza sia certamente cieca senza il filosofare quanto la filosofia può risultare ciarlataneria senza la scienza. 
Questo post vorrebbe mettere a confronto due grandi pensatori moderni nella loro concezione di metodo assiomatico.


La concezione concreta di Kant

Quel è il metodo della matematica secondo Kant? Ci sono due metodi ai quali fare riferimento: metodo sintetico e metodo analitico. "Col primo si parte dai principi e si procede verso cose che si basano sui principi, col metodo analitico si parte dalle cose verso i principi". Anche se Kant enuncia due metodi per la matematica, egli dichiara anche che è sopratutto quello sintetico che la caratterizza. Le proposizioni fondamentali sono certe ed indimostrabili e da esse si deducono i teoremi tramite inferenze logiche.

Ma quale concezione ha Kant del metodo sintetico, ossia del metodo assiomatico? La sua concezione si basa sopratutto sugli "Elementi" di Euclide. Secondo una tale concezione costruire una teoria assiomatica vuol dire procedere da alcuni termini chiari in sé detti primitivi, e definire tutti gli altri termini a partire da essi. Il fatto che i termini primitivi siano chiari in sé implica che essi abbiano un'unica interpretazione, e non siano dunque equivoci. Le definizioni, gli assiomi e le dimostrazioni sono gli elementi fondamentali della concezione concreta kantiana.

Perché un sistema di assiomi sia adeguato, per Kant deve rispettare tre requisiti fondamentali:

1) Coerenza: Partendo dagli assiomi non si devono poter dimostrare proposizioni contraddittorie tra di loro. Ogni proposizione è sottoposta a quella che Kant chiama "principio di determinabilità", ossia in una proposizione con due predicati opposti tra di loro, solo uno può appartenergli.
Molto importante dal mio punto di vista è che per Kant il principio di determinabilità è condizione necessaria ma non sufficiente per la verità di una conoscenza, perché mentre "una conoscenza che si contraddice è sempre falsa" una conoscenza "se non si contraddice, non sempre è vera"

2) Completezza: Per ogni proposizione del sistema si può dimostrare o essa o la sua negazione a a partire dagli assiomi del sistema. La completezza non si fonda come nella coerenza solamente in base al principio di non-contraddizione, ma anche all'insieme totale di proposizioni del sistema

3) Decidibilità: Esiste un metodo per determinare, per ogni proposizione, se essa è dimostrabile o non dimostrabile a partire dagli assiomi del sistema.

Ma quel è il ruolo che Kant assegna alla filosofia di fronte alla matematica? Secondo Kant la filosofia deve semplicemente giustificare la matematica attraverso una indagine dei fondamenti. Essa svolge infatti un ruolo puramente giustificativo e "non si propone l'ampliamento delle conoscenze". Non mira ad una estensione del contenuto della matematica, ma serve solo a chiarire la "natura della matematica".
E' interessante anche qui mostrare come per Kant la filosofia della matematica debba utilizzare unicamente il metodo analitico (a differenza della matematica che utilizza in gran parte quello sintetico) poiché Kant la intende come una logica della giustificazione


La concezione astratta di Hilbert

Secondo Hilbert il metodo della matematica è il metodo assiomatico, ossia il porre come punto di partenza degli assiomi per derivare da essi teorie mediante dimostrazioni e definizioni.
Ma la cosa interessante è che se per Hilbert il metodo assiomatico è il metodo delle scienze nel loro complesso, tuttavia esso non è il metodo della scoperta ma della giustificazione della scoperta, perché il metodo della scoperta scientifica è l'intuizione.

La concezione di Hilbert non è comunque quella di Kant (che avevo chiamato concreta), ma è detta concezione astratta. Secondo tale concezione costruire una teoria assiomatica vuol dire scegliere in modo arbitrario alcuni termini, detti termini primitivi e alcune proposizioni (sempre arbitrariamente) dette proposizioni primitive.
Mentre nella concezione concreta kantiana i termini e le proposizioni primitive hanno valore e significato chiaro in sé, nella concezione astratta essi sono privi di significato e di verità in sé. Inoltre mentre per Kant essi hanno un'unica interpretazione, per Hilbert possono averne più di una. Le interpretazioni non si limitano a quelle matematiche ma si estendono anche a quelle non-matematiche.

Nemmeno secondo Hilbert tutte le teorie assiomatiche sono valide, ma devono soddisfare gli stessi criteri kantiani:

1) Coerenza: dagli assiomi non si possono inferire conclusioni contraddittorie tra di loro. Ma contrariamente a quanto ritiene Kant, questa è una condizione necessaria ed anche sufficiente.

2) Completezza: Un sistema di assiomi deve bastare a dimostrare tutti i teoremi possibili, sia quelli attualmente noti sia quelli futuri. E' necessario quindi dimostrare per ogni proposizione del sistema se stessa o la sua negazione.

3) Decidibilità: Esiste un metodo per mostrare per ogni proposizione del sistema se essa è dimostrabile o meno a partire dagli assiomi.

Ma qual è per Hilbert il ruolo della filosofia nei confronti della matematica? La filosofia non serve a rendere certa la matematica perché essa è già assolutamente certa ma a chiarire la base della sua certezza. Secondo Kant una tale analisi doveva basarsi esclusivamente sugli strumenti di analisi della filosofia (sintetico e analitico) mentre per Hilbert questi strumenti non bastano, perché la giustificazione deve basarsi sui criteri della logica matematica.
La logica intesa in questo modo viene detta da Hilbert metamatematica. Mentre la matematica procede mediante le dimostrazioni, la metamatematica le assume come suo oggetto.
Come per Kant, la filosofia della matematica non amplia le conoscenze matematiche ma ha soltanto una funzione fondativa.


Godel




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21 agosto 2005

C'era una volta Achille che inseguiva una tartaruga senza mai raggiungerla

Come la maggior parte di voi avranno già capito questo articolo è dedicato al famigerato paradosso ideato da Zenone di Elea. Cercherò di analizzarne i presupposti e magari vedere come questo paradosso "apparentemente" frutto di una inutile elucubrazione ha consentito l'evoluzione della matematica.

Il paradosso per i mega-ignorantoni è sostanzialmente questo: Achille decide di gareggiare con una tartaruga in una improbabile corsa a chi arriva primo. Visto che l'aitante eroe è praticamente certo di vincere, decide di concedere alla bestia disgraziata un po' di vantaggio. Cosa accade dunque inaspettatamente? La tartaruga percorre un certo spazio s1 e intanto Achille la raggiunge; però quando Achille l'ha raggiunta la tartaruga si è già mossa di un altro tratto s2 e così via all'infinito. Achille non raggiungerà mai la tartaruga.

Cosa ci sta dietro questa apparente storiella senza alcun senso? C'è da dire che Zenone pensava di utilizzarla per difendere la tesi del suo maestro nonché amante Parmenide sull'immobilità dell'essere e l'illusione del movimento. Quali sono dunque i presupposti del paradosso? Sostanzialmente sono due, uno dal punto di vista fisico e l'altro dal punto di vista logico:

fisico: divisibilità dello spazio

logico: regresso all'infinito

Ovviamente il paradosso funziona solo se viene ipotizzata la divisibilità fisica dello spazio. Ma se dal punto di vista matematico si può dividere un segmento in infinite parti, dal punto di vista fisico la cosa non è proprio così scontata.
I matematici greci comunque tentarono di risolvere il paradosso rifiutando appunto o la divisibilità dello spazio fisico o affermando l'impossibilità del regresso all'infinito. Questo paradosso venne certamente ripreso dagli scettici che ne trassero due conclusioni: a) nulla si può dimostrare; b) nulla si può definire.
Alla fine si è compreso però che ad un certo punto il regresso deve essere fermato introducendo il concetto di assioma e conducendo tutte le dimostrazioni a partire da essi. Per quanta riguarda la definizione in matematica fin dai tempi degli "Elementi" di Euclide si fa riferimento alle nozioni primitive, l'analogo degli assiomi per quanto riguarda la definizione.

Zenone rimarrebbe deluso probabilmente nel vedere che i suoi argomenti contro la sua volontà sono stati utilizzati dai matematici per qualcosa di positivo e non per una confutazione del divenire. Comunque, nel XVII sec. un certo Gregorio di San Vincenzo, teologo e filosofo, pensò per primo a quella che oggi viene chiamata serie numerica.
Il paradosso di Zenone può essere infatti tradotto così:

1/2 + 1/4 +1/8 +... = 1

Gregorio mostrò quindi che in realtà i paradossi zenoniani riconducibile alla serie sopra enumerata non erano veri e propri paradossi. Semplicemente una somma infinita di quel tipo aveva come risultato un valore finito. Questa intuizione diede il via a quella che oggi si chiama analisi matematica.

Qualche secolo più tardi un certo Joshua Royce utilizzò l'intuizione zenoniana per derivarne il "teorema del punto fisso", ossia che dividendo (v. figura sotto) una mappa all'infinito si arriva prima o poi ad un punto che rimane fermo (quello piccolo rosso).




Questo teorema apparentemente inutile viene usato per esempio nel prevedere i tornado sulla terra (magari visto che è roba interessante farò un post su questo teorema).
Ecco come un paradosso apparentemente futile e senza alcuna utilità pratica si può rivelare ricco di importanti conseguenze pratiche e non.

Ciao a tutti/e

Godel





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21 agosto 2005

Chi è il Genio?

Anche se domandarci chi è il genio e qual è il suo ruolo può sembrare una domanda non strettamante logica, in realtà essa ha un notevole influsso sugli argomenti logici o comunque ne delinea il rapporto con le altre discipline.



La scoperta, secondo Kant, non è ad esempio opera della logica in senso stretto ma del genio che è "il talento di produrre ciò di cui non si può dare un regola determinata: non un'attitudine particolare a ciò che può essere appreso mediante una regola". C'è da dire che questa affermazione è tipica di un pensiero fondazionalista in cui la logica non è vista come ragioniamo veramente ma come dobbiamo ragionare. Essa non è a priori in questo senso, cioè delinea il metodo delle scienze dopo la scoperta geniale. Anche per Leibniz il genio si pone al di sopra delle leggi e delle regole e perciò è capace "di far epoca in tutto ciò che intraprende".



Il genio comunque non si manifesta semplicemente a mio avviso all'interno dell'opera scientifica ma investe tutti i campi del sapere secondo la regola di Kant che ho sopra enunciato. Non è inoltre nemmeno detto che i rapporti tra scienza e le altre discipline siano inconciliabili. Prendo come spunto ad esempio un'affermazione di Oscar Wilde che ho avuto modo di rileggere in questo periodo nella raccolta di saggi "Le intenzioni", secondo cui "La menzogna è lo scopo dell'arte". Wilde aveva effettivamente capito che l'arte non ci dice come è il mondo veramente, ma lo modifica e lo muta. Anche lui aveva evidentemente capito (solo come intuizione si intende) la differenza tra linguaggio e metalinguaggio. In questo senso la realtà potrebbe essere interpretata come il linguaggio e l'opera dell'artista come metalinguaggio.



K.Godel




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